“排数字游戏”的奇偶性分析方法

湖北省仙桃市实验小学（433000）   杨宏伟

陈省身教授说过“数学好玩”。排彩色板游戏是排数字游戏的生活原型，一个小朋友用红、蓝、黄三种色板各两块，排出的一排彩色板：黄、红、蓝、红、黄、蓝。如果仔细观察这排彩色板，你就不难发现其特点：两块红板之间有一块其它颜色的色板；两块蓝板之间有两块其它颜色的色板；两块黄板之间有三块其它颜色的色板。如果把红、蓝、黄三块色板分别用自然数1、2、3表示，那么上面的游戏就可以抽象成一个数学问题：把1、1、2、2、3、3排成一排，使两个1之间有一个其它数字；两个2之间有两个其它数字；两个3之间有三个其它数字。其实小学生也能理解和体会游戏中的数学，为此提供一种简单有趣的奇偶性分析方法，以供参考。

游戏1：把1、1、2、2、3、3排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数。排法是：2、3、1、2、1、3或3、1、2、1、3、2，注意把第一种排法倒过来就成了第二种排法。推广得，

游戏2：把1、1、2、2、3、3、4、4排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数，使两个4之间夹着4个数。排法是：4、1、3、1、4、3、2或2、3、4、2、1、3、1、4。再推广，

游戏3：能否把1、1、2、2、3、3、4、4、5、5排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数，使两个4之间夹着4个数，使两个5之间夹着5个数。排法却是不存在的。

我们把需要的10个位置分别编上序号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

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1   2   3   4   5   6   7    8   9  10

把第1、3、5、7、9位叫奇位，第2、4、6、8、10位叫偶位。10个位置中有5个奇位，5个偶位。偶数对（2、2）和偶数对（4、4）必处在一奇一偶的位置上。（如果某个偶数对中的第一个偶数放在奇位，中间间隔偶数个数后，第二个偶数必然摆在偶位上，反之如果某个偶数对中的第一个偶数放在偶位，中间间隔偶数个数后，第二个偶数必然摆在奇位上）类似地，奇数对（1、1）要么同在奇位要么同在偶位上，奇数对（3、3）同在奇位或同在偶位上，奇数对（5、5）也同在奇位或同在偶位上（因为每个奇数对里都间隔奇数个数）。10个位置去掉偶数对（2、2）、（4、4）排掉的2个奇位和2个偶位，还剩下3个奇位和3个偶位。奇数对（1、1）、（3、3）、（5、5）每一个奇数对要么同在奇位上要么同在偶位上，只有4种排法：①排在6个奇位②排在4个奇位2个偶位 ③排在2个奇位4个偶位④排在6个偶位，可见剩下的3个奇位和3个偶位是无法排放3个奇数对的。所以排法是不存在的。

 一般地，若把2n个自然数1、1、2、2、3、3┄┄n、n排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数，使两个4之间夹着4个数┄┄使两个n之间夹着n个数。

把自然数1、1、2、2、3、3┄┄n、n分成两类：奇数对（1、1）、（3、3）（5、5）┄┄和偶数对（2、2）、（4、4）、（6、6）┄┄。2n个数排成一排，有n个奇位和n个偶位。从前面的游戏3可以知道，每一个偶数对（2、2）、（4、4）（6、6）┄┄都分别排在一奇一偶的位置上。每一个奇数对（1、1）、（3、3）（5、5）┄┄要么同在奇位上要么同在偶位上。这样把所有的奇数对（1、1）、（3、3）（5、5）┄┄可以分成两类：只排在奇位上的奇数对和只排在偶数位上的奇数对。如果先把所有偶数对排完，剩下的位置中奇位的个数和偶位的个数必然是相等的。由剩下的奇位的个数等于偶位的个数可知，排在奇位上的奇数对的个数必须等于排在偶位上的奇数对的个数。要想排法存在，奇数对（1、1）、（3、3）（5、5）┄┄的对数必须是偶数。

 ⑴当n为大于3的奇数，则n必须除以4余3。其中偶数对（2，2）、（4，4）、（6，6）、┄、（n-1，n-1）共1/2(n-1)对数，奇数对（1，1）、（3，3）、（5，5）、（7，7）、┄、（n，n）共1/2(n+1)对数，由奇数对的个数1/2(n+1)必须是偶数得到n+1是4的倍数，n除以4余3。

⑵当n为大于3的偶数，则n必须是4的倍数。偶数对（2，2）、（4，4）、（6，6）、┄、（n，n）共1/2n对数，奇数对（1，1）、（3，3）、（5，5）、┄、（n－1，n－1）共1/2n对数。奇数对的个数1/2n必须是偶数，所以n是4的倍数。

注意：“自然数n除以4余0或余3”只是排法存在的必要条件。而对具体满足除以4余0或余3的自然数n，排法是否存在还需实际验证。

最后，我们不妨研究：把1、1、2、2、3、3┄7、7排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数，┄使两个7之间夹着7个数。排法是7、1、3、1、6、4、3、5、7、2、4、6、2、5。倒过来亦然。把1、1、2、2、3、3┄8、8排成一排，使两个1之间夹着1个数，使两个2之间夹着2个数，使两个3之间夹着3个数，┄使两个8之间夹着8个数。排法是8、1、2、1、7、2、4、5、6、8、3、4、7、5、3、6。反过来亦然。

 本文发表在《中小学数学》2007年第1、2期